1차 미분 마스크, 2차 미분 마스크

※ 1차 미분 마스크

1차 미분 마스크로는 로버츠 마스크, 프리윗 마스크, 소벨 마스크 등이 있다. 이런 마스크들은 엣지를 검출할 때 사용한다. 어떻게 해당 마스크들이 엣지를 검출할 수 있는 지 알아보자. 

에지는 화소의 밝기가 급격히 변하는 부분이다. 따라서 화소의 변화율을 취하는 미분 연산을 이용해서 에지를 검출 할 수 있다. 미분 연산은 즉, 기울기를 계산하는 것이기에 현재 화소에서 밝기의 기울기를 계산하면 된다. 하지만 디지털 영상은 연속이 아닌 이산된 데이터가 나열되어 있기 때문에 미분 연산을 할 수 없다. 그래서 다음과 같이 근사하여 계산한다. 

영상은 2차원이기 때문에 가로 방향, 세로 방향 각각 미분을 구해야한다. 그리고 최종적으로 영상에 나타낼 때는 각각의 제곱을 더한 것에 제곱근을 한다. 이러한 1차 미분 공식을 영상에 구현하는 쉬운 방법이 1차 미분 마스크로 회선을 적용하는 것이다. 위의 수식은 다음의 마스크와 같다. 

이렇게 회선의 수식을 이요해서 화소간 차분을 계산할 수 있도록 마스크의 원소를 구성하면 1차 미분 마스크가 된다. 이 마스크를 적용해서 입력 영상에 회선을 수행하면 에지 검출이 가능하다. 이 때 마스크 계수의 합은 0이 되어야 한다.

- 로버츠 마스크

로버츠 마스크는 대각선 방향으로 1, -1을 배치하여 구성된다. 나머지 원소의 값이 모두 0이어서 다른 1차 미분 마스크에 비해서 수행속도가 빠르다. 한번만 차분을 계산하기 때문에 차분의 크기가 작고 이로 인해서 경계가 확실한 에지만을 추출하지만 잡음에 매우 민감하고 에지의 강도가 약하다.

- 프리윗 마스크

로버츠 마스크와 달리 세 번의 차분을 합하기 때문에 에지의 강도가 강하며, 수직과 수평 에지를 동등하게 찾는 데 효과적이다. 수직과 수평 차분을 이용하기 때문에 전반적으로 대각선 방향보다는 수직, 수평 방향의 에지를 잘 검출한다.

- 소벨 마스크

에지 추출을 위한 가장 대표적인 1차 미분 연산자이다. 프리윗 마스크와 유사하지만 중심화소의 차분에 대한 비중을 2배로 키운 것이 특징이다. 해당 마스크는 수평, 수직 방향의 에지도 잘 추출하며 중심화소의 차분 비중을 높였기 때문에 대각선 방향의 에지도 잘 검출한다.

- 영상 처리 응용에서 필요한 에지들은 대부분 특정 방향의 에지들이다. 따라서 수평이나 수직으로 한쪽 방향의 에지만을 검출하고자 할 경우에는 두 개의 마스크를 같이 적용하지 않고 하나의 마스크만 적용할 수 있다.

※ 2차 미분 마스크

1차 미분 마스크는 밝기가 급격하게 변화하는 영역뿐 아니라 점진적으로 변화하는 부분까지 민감하게 에지를 검출하여 너무 많은 에지가 나타날 수 있다. 이를 보완하기 위한 방법으로 2차 미분 연산이 있다. 2차 미분 연산자는 변화하는 영역의 중심에 위치한 에지만을 검출하며, 밝기가 점진적으로 변화되는 영역에 대해서는 반응을 보이지 않는다.

- 라플라시안 에지 검출

대표적인 2차 미분 마스크로 라플라시안이 있다. 다음은 라플라시안의 수식을 나타낸다.

3*3 마스크를 예로 라플라시안 마스크 공식에 적용하면 중심화소를 4배로 하고 상하좌우 화소를 중심화소와 반대 부호를 갖게 구선한다. 또한, 마스크 원소의 전체 합은 0이 되어야 한다. 다음은 라플라시안 마스크의 예이다.

라플라시안은 중심 화소와 4방향 또는 8방향의 주변 화소와 차분을 합하여 에지를 검출하기 때문에 주변 화소에 잡음 성분이 있으면 잡음 성분에 매우 민감하여 실제보다 더 많은 에지를 검출하는 경향이 있다. 따라서 라플라시안 마스크를 적용하기 전에 잡음을 제거하면 좋다.